Triangulo de pascal: Coeficientes del binomio de Newton

Se inscribe el triángulo de Pascal en una tabla para poder nombrar a cada coeficiente del mismo. El número en la línea n y la columna p se denota:

$n \choose p$

o más raramente

$C_n^p$

( $C$ por "combinación") y se dice "n sobre p", "'combinación de n en p"' o "coeficiente binomial n, p". Las casillas vacías corresponden a valores nulos. Por definición misma, tenemos, (para todo n natural):

$(a+b)^n = \sum_{p=0}^n {n\choose p} a^{n-p} b^p$

para cualquier valor de a y b. De hecho, es una igualdad de polinomios en Z[a, b]. Sin perder en generalidad, resulta a veces más práctica la definición:

$(X+1)^n = \sum_{p=0}^n {n\choose p} X^p$

vista como una igualdad de polinomios en Z[X]. De esta fórmula se deducen dos consecuencias:

Tomando X = 1 se obtiene:

$\sum_{p=0}^n {n\choose p} = 2^n$

La suma de los coeficientes de una misma línea vale 2ⁿ. En efecto: $1 = 2^0, 1 + 1 = 2 = 2^1, 1 + 2 + 1 = 4 = 2^2, 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2^3, 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2^4...$ Con $X = -1$ se obtiene, ( $n > 0$ ):

$\sum_{p=0}^n {n\choose p} (-1)^p = 0$

: la suma alterna de los números de una misma línea vale 0.

En efecto: $1 - 1 = 0, 1 - 2 + 1 = 0, 1 - 3 + 3 - 1 = 0, 1 - 4 + 6 - 4 + 1 = 0, 1 - 5 + 10 - 10 + 5 - 1 = 0 ...$ . Las propiedades que hemos observado en el triángulo se pueden ahora escribir con todo rigor: